GRE / GMAT 數學常見考點! 連續整數的乘積究竟藏了什麼秘密?

連續整數(consecutive integers)是數學考試中很常出現的關鍵字,包括連續整數,連續偶數以及連續奇數等。今天我們要討論的是連續整數乘積的性質,那就是三個連續正整數相乘的乘積一定會是6的倍數。

到底是為什麼??

三個連續的正整數相乘,其中肯定會有至少一個數字是偶數,因此會是2的倍數;除此之外,每隔2個數字第三個就是3的倍數,因此在三個連續正整數中,也一定會有一個數字是3的倍數,因此三個數字乘起來就會是6的倍數。

我們看幾個例子:

Ex1: If n is a positive integer, the remainder when n(n+1)(n+2) is divided by 3?

Sol:   因為n(n+1)(n+2) 為連續整數, 所以一定能被3 整除,

         Remainder= 0

Ex2: If n is an integer greater than 1. What is the value of k that can make sure n(n2-1)/k is an integer?

Indicate all such numbers.

A.2

B.3

C.4

D.6

Sol:  n(n2-1)可以分解成 n(n+1)(n-1) 為連續整數, 所以可被6整除 

        而6也可分解為2X3,故n(n+1)(n-1)也同時能被2和3整除 

       答案為 ABD

Ex3 If k is a positive integer, what is the remainder when (k + 2)(k^3 – k) is divided by 6 ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4

Sol:  (k + 2)(k^3 – k) 可以將k 提出來?(k + 2)k (k^2 – 1)? (k + 2) k (k +1)(k – 1)

       順序可重新調整(k + 2) k (k +1)(k – 1)=(k – 1) k (k +1)(k+2) 此為4個連續整數 

       故可被6整除, remainder=0  (A)

舉了這三題例子, 剩下的就交給你囉!你會推了嗎?